By Claudio Canuto, Anita Tabacco
ISBN-10: 8847008735
ISBN-13: 9788847008731
ISBN-10: 8847008743
ISBN-13: 9788847008748
Il testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica secondo i principi dei nuovi Ordinamenti Didattici. E' in particolare pensato in keeping with quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico è¨ parte significativa della formazione. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale di più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica del testo ricalca quella usata according to l'ANALISI I. los angeles modalit� di presentazione degli argomenti permette un uso flessibile e modulare del testo, in modo da rispondere alle various possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un corso di Analisi Matematica. Il libro presenta tre diversi livelli di lettura. Un livello "essenziale" permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia e di familiarizzare con le relative tecniche di calcolo. Un livello intermedio fornisce le giustificazioni dei principali risultati e arricchisce l'esposizione mediante utili osservazioni e complementi. Un terzo livello di lettura, basato su numerosi riferimenti advert un testo virtuale disponibile in rete, permette all'allievo più motivato ed interessato di approfondire los angeles sua preparazione sulla materia. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet� di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con los angeles relativa soluzione. in keeping with oltre los angeles met� di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.
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10 (`e maggiorata da una serie geometrica di ragione q = 23 < 1). f) Non converge. 16. Verifica della convergenza di serie e calcolo della loro somma: a) −1/7 . 3 iii), si ha ∞ k=1 3k 1 = 2 · 42k 2 ∞ k=1 3 16 k = 1 2 1 3 −1 1 − 16 = (si noti che il primo indice della sommatoria `e 1). c) Si tratta di una serie telescopica in quanto possiamo scrivere 2k + 1 1 1 = 2− ; 2 + 1) k (k + 1)2 k 2 (k dunque sn = 1 − da cui s = lim sn = 1. n→∞ d) 1/2 . 1 , (n + 1)2 3 26 2 Serie di funzioni e di potenze L’idea di approssimare una funzione mediante una successione di funzioni pi` u semplici, o comunque note, `e alla base di molteplici procedure matematiche, di natura tanto teorica quanto applicativa.
Supponiamo che esistano due funzioni f e g definite su I tali che i) fn → f puntualmente in I; ii) fn → g uniformemente in I. Allora f `e di classe C 1 su I, e si ha f = g. Inoltre fn → f uniformemente in I (e, ovviamente, fn → f uniformemente in I). Sotto le ipotesi del teorema, vale quindi l’uguaglianza lim fn (x) = n→∞ lim fn (x) n→∞ , ∀x ∈ A , e dunque la propriet` a di convergenza uniforme (delle derivate prime) permette di scambiare le operazioni di limite e di derivazione. 11 Una forma pi` u generale del teorema precedente, con dimostrazione del tutto analoga, afferma che se la successione {fn }n≥n0 di funzioni di classe C 1 soddisfa le condizioni: i) esiste x0 ∈ [a, b] tale che lim fn (x0 ) = ∈ R; n→∞ ii) la successione {fn }n≥n0 converge uniformemente su I verso una funzione g (necessariamente continua su I), allora, posto x f (x) = + g(t) dt , x0 si ha che fn converge uniformemente a f su I.
31 (di Abel) Supponiamo R > 0 finito. Se la serie converge in x = R, allora la convergenza `e uniforme in ogni intervallo [a, R] ⊂ (−R, R]. Analogo risultato vale se la serie converge in x = −R. Se ora consideriamo una serie di potenze centrata in un generico punto x0 , i risultati precedenti si riformulano nel modo seguente. Il raggio di convergenza R ∞ ak (x − x0 )k converge solo nel suo centro x0 , mentre vale 0 se e solo se la serie k=0 R = +∞ se e solo se la serie converge in ogni punto x in R.