By Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann
ISBN-10: 3642137660
ISBN-13: 9783642137662
Diese Einführung in die research orientiert sich in ihrem Aufbau an der zeitlichen Entwicklung der Themen. Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden praktischer Problemen hin zu unendlichen Reihen, Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Das Etablieren einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert für research ein und mehrerer Variablen wird in den Kapiteln III und IV behandelt. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder ergänzen das Buch und machen es zu einem Lesevergnügen für Studierende, Lehrer und Forscher. Aus den Besprechungen: the purpose of this attention-grabbing new contribution to the sequence Readings in arithmetic is an try and fix the old order within the presentation of simple mathematical analysis...such a ancient method offers a truly fruitful and fascinating method of mathematical research. Jean Mawhin, Zentralblatt The authors contain a good number of once-traditional matters that have now vanished from the research curriculum. ...The paintings is especially good illustrated. The publication is well an research textual content, instead of a background, yet loads of trustworthy ancient fabric is incorporated. For these looking an alternative choice to the conventional process, it sort of feels to me to be of serious curiosity. Thomas Archibald, Mathematical studies The authors...have assembled a magnificent array of annotated effects, quotations, tables, charts, figures and drawings, many copied from unique documents....they write with nice enthusiasm and with obvious affection for either research and background. John Troutman, American Mathematical Monthly
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Sample text
Fermats Berechnung der Fl¨ache unter xa L¨osung (Fermat 1636). Wir w¨ahlen ein θ, das nahe an, aber kleiner als 1 ist, und betrachten die Rechtecke, die von der geometrischen Folge B, θB, θ2 B, θ 3 B, . . (Abb. 4b) herr¨uhren, mit ihren H¨ohen B a , θa B a , θ2a B a , θ3a B a , . . Dann kann die gesuchte Fl¨ache ann¨ahernd durch eine geometrische Reihe berechnet werden, erstes Rechteck + zweites Rechteck + drittes Rechteck + . . 12) = B(1 − θ)B a + B(θ − θ2 )θa B a + B(θ2 − θ3 )θ2a B a + . .
Dies ist genau die Formel, die auf Newtons Grabstein in Westminster Abbey 1727 eingraviert wurde. Versuchen Sie nicht, sie zu finden . . in den letzten hundert Jahren war die Formel unlesbar. Die Exponentialfunktion . . ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (erste Definition von e; Euler 1736b, Mechanica, S. 60) Urspr¨unge. 1. F. de Beaune (1601–1652) war der erste Leser von Descartes’ G´eo” m´etrie“ aus dem Jahr 1637. Ein Jahr sp¨ater stellte er Descartes das folgende geometrische Problem: Man finde eine Kurve y(x), so dass f¨ur jeden Punkt P der Abstand zwischen den Punkten V und T, die die Schnittpunkte zwischen der x-Achse und der vertikalen bzw.
15) ln(1 − x) = −x − ln 1+x x3 x5 x7 x9 =2 x+ + + + +... 1−x 3 5 7 9 Beispiele. 14a) ln 2 = + + + +... 15a) ln 2 = 2 + + + + ... 15a) einander gegen¨uber. Es ist offensichtlich, welche Reihe die beste ist. 2. 15a) 0,667 0,6914 0,69300 0,693135 0,6931460 0,69314707 0,693147170 0,6931471795 0,693147180559 0,6931471805498 0,6931471805589 0,69314718055984 Berechnung von ln p fur ¨ Primzahlen ≥ 3. 1), so reicht es aus, die Logarithmen der Primzahlen zu kennen. Die Logarithmen zusammengesetzter ganzer Zahlen und rationaler Zahlen erh¨alt man sodann u¨ ber Addition und Subtraktion.