By Ravi P. Agarwal
ISBN-10: 0824790073
ISBN-13: 9780824790073
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Fermats Berechnung der Fl¨ache unter xa L¨osung (Fermat 1636). Wir w¨ahlen ein θ, das nahe an, aber kleiner als 1 ist, und betrachten die Rechtecke, die von der geometrischen Folge B, θB, θ2 B, θ 3 B, . . (Abb. 4b) herr¨uhren, mit ihren H¨ohen B a , θa B a , θ2a B a , θ3a B a , . . Dann kann die gesuchte Fl¨ache ann¨ahernd durch eine geometrische Reihe berechnet werden, erstes Rechteck + zweites Rechteck + drittes Rechteck + . . 12) = B(1 − θ)B a + B(θ − θ2 )θa B a + B(θ2 − θ3 )θ2a B a + . .
Dies ist genau die Formel, die auf Newtons Grabstein in Westminster Abbey 1727 eingraviert wurde. Versuchen Sie nicht, sie zu finden . . in den letzten hundert Jahren war die Formel unlesbar. Die Exponentialfunktion . . ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (erste Definition von e; Euler 1736b, Mechanica, S. 60) Urspr¨unge. 1. F. de Beaune (1601–1652) war der erste Leser von Descartes’ G´eo” m´etrie“ aus dem Jahr 1637. Ein Jahr sp¨ater stellte er Descartes das folgende geometrische Problem: Man finde eine Kurve y(x), so dass f¨ur jeden Punkt P der Abstand zwischen den Punkten V und T, die die Schnittpunkte zwischen der x-Achse und der vertikalen bzw.
15) ln(1 − x) = −x − ln 1+x x3 x5 x7 x9 =2 x+ + + + +... 1−x 3 5 7 9 Beispiele. 14a) ln 2 = + + + +... 15a) ln 2 = 2 + + + + ... 15a) einander gegen¨uber. Es ist offensichtlich, welche Reihe die beste ist. 2. 15a) 0,667 0,6914 0,69300 0,693135 0,6931460 0,69314707 0,693147170 0,6931471795 0,693147180559 0,6931471805498 0,6931471805589 0,69314718055984 Berechnung von ln p fur ¨ Primzahlen ≥ 3. 1), so reicht es aus, die Logarithmen der Primzahlen zu kennen. Die Logarithmen zusammengesetzter ganzer Zahlen und rationaler Zahlen erh¨alt man sodann u¨ ber Addition und Subtraktion.