By N. Bourbaki
ISBN-10: 354035333X
ISBN-13: 9783540353331
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce cinquième chaptire du Livre d Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, traite notamment d une generalisation du théorème des Lebesgue-Fubini et du théorème de Lebesque-Nikodym. Il contient également des notes historiques. Ce quantity est une réimpression de l édition de 1967.
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U f ) est localement négligeable pour u . 0 (resp. pour 8 ) équivaut à dire que Jfl(resp. lu1 . l f l ) est localement négligeable pour l u . 8) (resp. pour 181). On est donc ramené, compte tenu de la prop. 2 du no 2, a u cas oùf, u, 8 sont positives; l'énoncé résulte alors aussitôt de la prop. 3. COROLLAIRE 2. -Soient u , et u, deux fonctions complexes localement O-intégrables. Pour que u , . O = u, . O, il faut et il sujît que u , et u, soient égales localement presque partout. On se ramène aussitôt à montrer que u .
Les mesures p et v sont alors bornées, et on peut remplacer dans l'énoncé essentiellement intégrable » par « intégrable ». Supposons que f soit v-intégrable: la fonction f(n(t))g(t)est alors p-intégrable, et la relation (9) est vérifiée, d'après le th. 1 du 4 3, no 3. Inversement, supposons que f(n(t))g(t) soit p-intégrable: f est alors v-mesurable (no3, prop. 3 et Remarque), et on a (no 2, th. 1): f est donc essentiellement v-intégrable (4 1, no 3, prop. 9), donc v-intégrable. Le th. 1 du 4 3, no 3 entraîne alors (9).
De la prop. 2). Posons 2 ,CA v, g, . p ; la condition pe(gf) < + cn équivaut à la condition v,(f) < + cn : autrement dit, g est localement p-intégrable si et = 1 atA seulement si la famille (va)est sommable. Si l'on désigne alors par v la somme de cette famille, le calcul précédent donne l'égalité v(f ) = pe(gf), qui équivaut à (8). Soit (g,) une suite de jbnctions numériques localement p-intégrables, et telle que la suite des mesures g,, . p soit croissante. Pour que cette suite soit majorée dans l'espace vectoriel ordonné A(T) des mesures sur T, il faut et il sufit que la fonction g = sup g, soit localement p-intégrable; la borne supérieure dans A(T) de la suite (g, .