By Waclaw Sierpinski
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A Basis Theory Primer: Expanded Edition
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INVERSE STURM-LIOUVILLE PROBLEMS AND THEIR APPLICATIONS
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Sample text
Nous appelons courbe cantorienne tout continu non-dense dans le plan, c'est-&-dire ensemble plan, fermé, connexe, composé de plus d'un point et dont tout point est un point frontière. Nous appelons courbe jordanienne toute image univoque et continue (mais pas nécessairement biunivoque) d'un segment (fini) de la droite. Nous appelons point de ramification d'un continu 6 son point p lorsqu'il existe trois sous-continus de ayant deux à deux le point p, et seulement lui, en commun. Soit l' un triangle équilatéral aux sommets A, B et C: gauche, supérieur et droit respectivement (voir fig.
Q est donc l'ensemble de tous les points intérieurs et de tous les points de tangence des cercles construits. L'ensemble P n'est pas fermé car tous les points de la circonférence de KI sauf le point 8 appartiennent h P. (l) Cf. A. Schoenflies, Entwickelung der Mengenlehre und ihrer AnwerrrEungm, Emte H W , Leipzig-Berlin 1913, p. 326. , 'P9 Soit L une droite quelconque du plan considéré. Pour montrer que l'ensemble PL des points de P situés sur L est parfait, il suffit de montrer que l'ensemble PLne contient pas de points isolés et qu'il est fermé.
Fi-x0 (x0@- yo)j/2= xo , m . y étant 6videmment un point de l'image de la fonction y = f (x). Il est ainsi démontré que tout point du plan est limite d'une suite infinie de points appartenant à l'image de la fonction y = f (a),c'est-A-dire que cette image est dense dans le pbn. Toutes les propriétés annoncées de la fonction f(x) se trouvent donc établies. ' La fonction f(x) est en même temps un exemple de fonction prenant une ~ a l e u rfinie bien déterminée pour toute valeur réelle de la variable sans être une fonction bornée dans ailcm intervalle aussi petit que l'on veut.