By Riccardo Gatto
ISBN-10: 3642539513
ISBN-13: 9783642539510
ISBN-10: 3642539521
ISBN-13: 9783642539527
Stochastische Modelle sind bei der Bewertung von Schadensbeträgen für Versicherungen von besonderer Bedeutung. Das Buch gibt eine Einführung in die dabei verwendeten Modelle für kleine und große Schadensbeträge wie auch in die stochastische Prozesse der aktuariellen Risikotheorie (Zählprozesse und Poisson-Prozess). Zentrales Thema ist die examine der Ruinwahrscheinlichkeit, wobei exakte Berechnungsmethoden, asymptotische Approximationen und numerische Algorithmen wie Monte Carlo-Simulation und schnelle Fourier-Transformation vorgestellt werden. Ein Appendix mit wichtigen Resultaten der Wahrscheinlichkeitstheorie erleichtert die Lektüre dieses Buches.
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F. F des Netzes. Beweisen Sie, dass F IFR ist, wenn FAB (x) = FAC (x) = FBC (x) = 1 − e−λx , ∀x > 0. (2) Untersuchen Sie, ob F IFR wäre, wenn FAB (x) = 1 − e−λx , FAC (x) = 1 − e−2λx , FBC (x) = 1 − e−3/2 λx , ∀x > 0. 10 Beantworten Sie die folgenden Fragen für die einseitige logistische Verteilung. (1) Berechnen Sie die Exzess-Funktion ex. (2) Gehört diese Verteilung zur DMRL-Klasse? (3) Beweisen, dass die (momentane) Ausfallrate h gegen 1 steigt. F. , d. h. F = ni=1 αi Fi , wobei α1 , . , αn > 0 und ni=1 αi = 1.
Die Eigenschaften, die ein Risikomaß erfüllen soll, führen zum Konzept von Kohärenz. Diese Kohärenz wird in Abschn. 1 vorgestellt. 1 Kohärentes Risikomaß Wie erwähnt, ist ein Risikomaß ein deterministischer Indikator der Quantifizierung der Ungewissheit eines individuellen oder aggregierten Verlustes. Formell ist ein Risikomaß ein Operator ρ : L1 ( ) → R+ , der das Kapital zum Schutz vor einem Verlust repräsentiert. Ein Risikomaß soll vier praktische Eigenschaften erfüllen und wird dann als kohärentes Risikomaß bezeichnet.
F. für γ = 0. Beweis Für jeden Stetigkeitspunkt x ∈ R von G ist Mn − bn n→∞ ≤ x −→ G(x) an P genau dann, wenn ∀z : R → R beschränkt und stetig, E z Mn − bn an ∞ n→∞ −→ z(v)dG(v), 0 s. 21 im Appendix. Der Erwartungswert lässt sich wie folgt umschreiben: E z Mn − b n an ∞ =n z 0 F (−1) (1 − nv ) an z U(v −1 n) − U(n) an 0 n = F n−1 (x)dF(x) z n = x − bn an 0 1− v n n−1 1− dv v n n−1 dv, gegeben die Wahl bn = F (−1) (1 − 1/n), für n = 1, 2, . . 10) mit an = a(n) gilt n z 0 U v −1 n − U(n) an 1− v n n−1 ∞ n→∞ dv −→ z hγ 1 v e−v dv z hγ 1 v d e−v .