By Bouziad A., Calbrix J.
ISBN-10: 2877750604
ISBN-13: 9782877750608
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Ir eine j,L-Nullmenge ist. Es gilt für jedes l, E IN xE N ==} limsuph(x) > 2- 1 für ein l > l, ==} . Ir c U U(Nli UMlik) , U 1>1, i>21 k~2 . 37 Anhang 1. ;-11 > k S J,I wobei gilt I,ldP,+ / I/jldP,) ~ 22+I-j S f ~ If" - f· '- I JI 1 }, 8. Nun ist S ~ 2- 1- 1 00 1 ~ 2- j du< r- - 2' + ~ i=2 < 21+ I - j - iH - , ;=2 daher o bei geeigneter Wahl von Z<. Dies beweist die Behauptung. 12 Folgerung. I) Cauchy-Folge in L(/-L) und 0 für j -----+ I = J-'OO lim 1, fast überall, --+ 00. L) vollständig ist, gibt es ein g E L(/-L) mit 111, - gIlL(/J) -----+ 0 für j --+ 00.
2. 14) ! dJ-L :5 gi S ! g dJ-L < 00 • S Da fast überall lim gi = g, folgt nach dem Lemma von Fatou 1-+00 ! inf! gi dJ-L = ! g dJ-L - lim su p ! II/i ! h. limsu p ! 1-+00 111 dJ-L , o 111; - I11 dJl. = O. 9 eingeführten Räume LP{J-L). 25 Vitali-Konvergenzsatz. Jl. ) mit 1 ~ P < 00, und es gelte In ---+ I J-L-fast überall. ') ---+ O. s~p 11 In 11" dJl. {E) wenn E und zu f > 0 gibt es E. ) < 00 und s~p ! S\E. IIlnll"dJl. ~ f. ~ 0, 47 Anhang 1. 20 Also gibt es zu ( > 0 ein n. und ein 8. > 0, so daß f Ilfnll P dp.
Rn ; ai ::; Xi < bi für i = 1, ... , n} < bi ::; +00. Es sei rr n Il([a,b[) := (bi - ai) , i=1 wobei der Wert 00 sei, falls ein bi = 00 oder ein ai = -00. Ist dann ein halboffener Quader E die disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern EI, ... , Em , so gilt m Il(E) = I:1l(Ei ) , i=1 was sich elementar beweisen läßt. Daher kann man Il eindeutig auf 8 additiv fortsetzen. 4 zu zeigen: Ohne Einschränkung sei Ei = [ai ,bi[ mit a i , bi E /Rn, und E E 8 sei eine beschränkte Menge. Für f > 0 bilden die Mengen eine offene Überdeckung der kompakten Menge E, also überdecken schon endlich viele Jaitf,bitf[, ...