By Szymon Dolecki
ISBN-10: 2705687416
ISBN-13: 9782705687410
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Soit ( X yd) un espace métrique. Une partie Q de X est dite dense si Br(x) C\Q ^ 0 pour tout x G X e t chaque r > 0. Un espace est dit séparable s’il admet une partie dénombrable dense. 5). 7. Soit (X, d) un espace métrique. Une partie Q de X est dense si et seulement si d(x> Q) = 0 pour tout x G X . IL ESPACES MÉTRIQUES 27 D émonstration . Comme B r(x)r\Q ^ 0 équivaut à x G Br(Q) (l’exercice 8b), donc Q est dense si et seulement si X C C\r>o^r(Q) et, d’après une observation récente, d(x, Q) = 0 pour tout x G X .
9. Une partie A est ouverte si et seulement si A C int A. Une partie A est fermée si et seulement si cl A C A. Il s’ensuit que dans un espace métrique, les ouverts, les fermés, Yintérieur et la fermeture sont des expressions équivalentes de la même structure, dite topologie d’un espace métrique. 1 montre qu’ils sont caractérisés par la convergence des suites. Mais, à leur tour, ils caractérisent cette convergence. 10. Dans un espace métrique, x = liuin-^oo^n si et seulement si pour tout ouvert O tel que x € O, l’ensemble {n : x n £ O} est fini.
2. II. ESPACES MÉTRIQUES 35 D émonstration . Soit r = hm ^oor^. Supposons qu’il existe n G Ni tel que r(n) ^ rfc(n) pour l’infinité de A; G Ni. Soit no le plus petit n avec cette propriété. 13), 3 ^ < k - r*fe| pour une infinité de fc, contredisant l’hypothèse. Réciproquement, si e > 0, alors il existe n£ G N tel que y n>ne l* (n )-y (n )| 3/1 — n>ne 2 371 ^ £ pour tous x, y G C. D’autre part, d’après l’hypothèse, pour tout n < ne il existe k{n) tel que rfc(n) = r(n) pour chaque k > k(n). 7. 5 5.