By Eberhard Freitag
ISBN-10: 3642453066
ISBN-13: 9783642453069
ISBN-10: 3642453074
ISBN-13: 9783642453076
Das Buch bietet eine vollständige Darstellung der Funktionentheorie, beginnend mit der Theorie der Riemann`schen Flächen einschließlich Uniformisierungstheorie sowie einer ausführlichen Darstellung der Theorie der kompakten Riemann`schen Flächen, Riemann-Roch`schem Satz, Abel`schem Theorem und Jacobi`schem Umkehrtheorem. Hierdurch motiviert wird eine kurze Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher gegeben und dann die Theorie der Abel`schen Funktionen bis hin zum Thetasatz entwickelt. Daran anschließend und hierdurch motiviert wird eine Einführung in die Theorie der höheren Modulfunktionen gegeben.
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Tn (z) und erhalten n (w − tν (z)). P (z, w) = an (z) ν=1 Der h¨ochste Koeffizient an (z) ist eine Polynom in z. Die Punkte x := (z, tν (z)) liegen auf der Kurve X. Es sind genau diejenigen Punkt x ∈ X, welche durch p auf z abgebildet werden. Beachtet man noch q(x) = tν (z), so kann man auch (w − q(x)) P (z, w) = an (z) x∈X, p(x)=z schreiben. Wir schließen indirekt, nehmen also an, dass sich X als Vereinigung zweier offener nicht leerer Teilfl¨achen schreiben l¨ asst, X = X1 ∪ X2 . Wir zerlegen P als Produkt P (z, w) = P1 (z, w)P2 (z, w), (w − q(x)), Pν (z, w) = z ∈ C − S.
F¨ ur die Definition der Diskriminante und ihre grundlegenden Eigenschaften verweisen wir auf den algebraischen Anhang am Ende dieses Bandes (s. 1). Die Diskriminante ist ein Polynom in z, welches wegen der Irreduzibilit¨at von P nicht identisch verschwindet. h. seine Diskriminante verschwindet, dP (a) = 0. 1 auch nur endlich viele (a, b). Es ist f¨ ur unsere Zwecke oft sinnvoll, ein Polynom P (z, w) nach Potenzen von w zu ordnen, P (z, w) = an (z)wn + · · · + a0 (z). uglich der Variablen w). Die Polynome ai heißen die Koeffizienten von P (bez¨ Wenn P von 0 verschieden ist, kann man an = 0 erreichen.
Wir zerlegen P als Produkt P (z, w) = P1 (z, w)P2 (z, w), (w − q(x)), Pν (z, w) = z ∈ C − S. x∈Xν , p(x)=z Die Funktionen Pν (z, w) sind bei festem w analytisch auf C − S, da man dort p lokal biholomorph umkehren kann. ¨ Ubungsaufgaben zu §3 47 Wir werden zeigen, dass die Singularit¨aten s ∈ S ∪ {∞} f¨ ur jedes feste w ur jedes feste w eine meromorphe außerwesentlich sind. Dann ist Pν (z, w) f¨ ¯ und als solche rational ([FB], Kapitel III, Anhang zu §4 und Funktion auf C §5, Satz A6). Hieraus folgt dann, dass Pν ∈ C(z)[w] Polynome in w u ¨ber dem K¨orper der rationalen Funktionen sind.