By Gilles Cohen (ed.)
ISBN-10: 2848841575
ISBN-13: 9782848841571
Sous le nom d'intégrale se cache une idée basic, belle et puissante, qui a mis plusieurs siècles pour arriver à maturité. remark calculer l'aire d'une sector délimitée par une courbe?
Le génial Archimède découpe l. a. floor à mesurer en objets géométriques élémentaires, puis procède par encadrements successifs.
C'est le aspect de départ d'une théorie qui se précisera au fil des siècles. Newton et Leibniz s'emparent de l. a. query et leur petite guerre débouchera sur l. a. fondation du calcul intégral. Grâce à eux, l'analyse se met au provider de los angeles géométrie. los angeles computer est lancée et ne s'arrêtera plus. Le XIXe siècle sera celui de l'utilisation du calcul intégral dans toutes les branches de los angeles body et des progrès de los angeles théorie, notamment avec Riemann. Elle débouche aujourd'hui sur des extensions permanentes.
C'est cette histoire, accompagnée d'explications théoriques détaillées, que raconte cet ouvrage.
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Cela n'empêche pas pour autant de manipuler ces primitives, il suffit de les dénommer et d 'étudier leurs propriétés ! Par exemple, la fonction dilogarithme est la primitive s'annulant en 1 de la fonction ln(l - t)lt. ~hangement de vari able astuc ieux, f(x~ +Arcsin x), retrouver la va leur de où Arc s in x dés igne la bijectio n réc iproque de la fo nctio n si nu s restre inte à l' inte rvalle [- n/2, n/2]. D. L. Jcos 4 t dt sans calcul de primitive. 0 En utilisant le changement de vari able x = n/2 - t, on montre que r.
Plus généralement , il existe de nombreuses fonctions dont on sait qu ' on ne peut pas exprimer les primitives à l' aide des fonctions usuelles. Le calcul d ' une primitive est donc une aventure que l'on n'est pas certain d 'achever ! Tangente Hors-série n°50. L'intégrale 2 - 3x + 2' on constate que la fraction à intégrer se décompose en 1 2 X - 3x + 2 1 1 =-- + --. X- 2 X- 1 On en déduit : fx 2 f 2 X dx - 3x + 2 dx - 3x + 2 =f-x dx- 2 +f-xdx- 1' puis = ln lx-2llx- l l. BASES DU CALCUL INTÉGRAL l'importance d'être un intervalle Ce procédé de déco mpos ition en é léments simples se généralise à toute intégrale de frac tio n rati o nne ll e (vo ir e n encadré).
Elles abouti ssent à définir l' intégrale sur l'ensemble des fo nctions continues par morceaux, entre autres. b note J f(x)dx vérifi ant les quatre propriétés" sui vantes : (1) l'additivité par rapport à l' intervalle, appelée auss i formu le de Chas les : J f(x)dx = a J f(x)dx + J f(x)dx, a b (2) la linéarité par rapport à la fo nction : J1af(x) + {3g(x) ] dx a JJ(x)dx + f3Jg(x)dx, • b b 0 ° = " fonctions en escalier Tout d 'abord , les propriétés (4) et (2) amènent la définiti on de l ' intégrale des fo ncti o ns co nstantes.