By Hans Wilhelm Alt
ISBN-10: 3540152806
ISBN-13: 9783540152804
ISBN-10: 3662083868
ISBN-13: 9783662083864
Die lineare Funktionalanalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Algebra mit Topologie und research verbindet. Das Buch führt in das Fachgebiet ein, dabei bezieht es sich auf Anwendungen in Mathematik und Physik. Neben den vollständigen Beweisen aller mathematischen Sätze enthält der Band zahlreiche Aufgaben, meist mit Lösungen. Für die Neuauflage wurden die Inhalte komplett überarbeitet. Das Standardwerk auf dem Gebiet der Funktionalanalysis richtet sich insbesondere an Leser mit Interesse an Anwendungen auf Differentialgleichungen.
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Ir eine j,L-Nullmenge ist. Es gilt für jedes l, E IN xE N ==} limsuph(x) > 2- 1 für ein l > l, ==} . Ir c U U(Nli UMlik) , U 1>1, i>21 k~2 . 37 Anhang 1. ;-11 > k S J,I wobei gilt I,ldP,+ / I/jldP,) ~ 22+I-j S f ~ If" - f· '- I JI 1 }, 8. Nun ist S ~ 2- 1- 1 00 1 ~ 2- j du< r- - 2' + ~ i=2 < 21+ I - j - iH - , ;=2 daher o bei geeigneter Wahl von Z<. Dies beweist die Behauptung. 12 Folgerung. I) Cauchy-Folge in L(/-L) und 0 für j -----+ I = J-'OO lim 1, fast überall, --+ 00. L) vollständig ist, gibt es ein g E L(/-L) mit 111, - gIlL(/J) -----+ 0 für j --+ 00.
2. 14) ! dJ-L :5 gi S ! g dJ-L < 00 • S Da fast überall lim gi = g, folgt nach dem Lemma von Fatou 1-+00 ! inf! gi dJ-L = ! g dJ-L - lim su p ! II/i ! h. limsu p ! 1-+00 111 dJ-L , o 111; - I11 dJl. = O. 9 eingeführten Räume LP{J-L). 25 Vitali-Konvergenzsatz. Jl. ) mit 1 ~ P < 00, und es gelte In ---+ I J-L-fast überall. ') ---+ O. s~p 11 In 11" dJl. {E) wenn E und zu f > 0 gibt es E. ) < 00 und s~p ! S\E. IIlnll"dJl. ~ f. ~ 0, 47 Anhang 1. 20 Also gibt es zu ( > 0 ein n. und ein 8. > 0, so daß f Ilfnll P dp.
Rn ; ai ::; Xi < bi für i = 1, ... , n} < bi ::; +00. Es sei rr n Il([a,b[) := (bi - ai) , i=1 wobei der Wert 00 sei, falls ein bi = 00 oder ein ai = -00. Ist dann ein halboffener Quader E die disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern EI, ... , Em , so gilt m Il(E) = I:1l(Ei ) , i=1 was sich elementar beweisen läßt. Daher kann man Il eindeutig auf 8 additiv fortsetzen. 4 zu zeigen: Ohne Einschränkung sei Ei = [ai ,bi[ mit a i , bi E /Rn, und E E 8 sei eine beschränkte Menge. Für f > 0 bilden die Mengen eine offene Überdeckung der kompakten Menge E, also überdecken schon endlich viele Jaitf,bitf[, ...