By Jean-Pierre, Dold, A. (Ed.) Eckmann, B. (Ed.) Serre
ISBN-10: 3540033491
ISBN-13: 9783540033493
ISBN-10: 3662215764
ISBN-13: 9783662215760
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P " (ii) Le groupe G possede la propriete de roleveoent pour les extensions -7 P -7 E -7 W 4 ou E est fini, et ou P est un J)-:groupe abelien annule par p. (ii bis) Toute extension de G dont le noyau est un I>-:groupe nbelien fini annule pnr p est triviale. (iii) Le groupe G possede ln propriete de relevenent pour les extensions ~ P ~ E ~ W --? 1 ou P est un pro-~groupe. I-24 Toute extension de G dont le noyau est un pro-~groupe est (iii bis) triviale. ) (iii) # Il est cluir que Pour prauver que (iii bis) considerons une extunsion (ii) ~ (ii bis), 1 ~ P ~ (ii bis) ~ (ii).
B -~ c -> A -~ , telle que 0 H0 (G, A) soit nul. On a alors le diagramme : H0 (G, A) -> J If(G, A*)* H1 (G, B) l -> -> If-1 (G, B~:")"::- -:· H1 (G, C) l Ef-1(G, c*)* Les fleches relatives aux H1 sont des isomorphismes. Il s'ensuit que o< 0 est injectif, d'ou lc r8sultat puisqu'on sait deja qu'il est surjectif. ( 4) Le foncteur rf est e~~act a droi te. ~ duaHte do ce que H0 est exact a gauche. (5) J'in de la d~~11str11_tion. ns et le fait que If cd(G) ~ n • En x induit 0 sur un sous-groupe ouvert U de If+1 (G, N~(A)) • En utilisant la suite exacte, est exact a droite, on voit que x =0 , cqfd.
124), et ici G/H-module, • On a donc : ce qui acheve la demonstra tion comme ci-dessus . lf(H, g/~) l'ensembl e d'indices est I I-34 Exercice. On suppose que ~(G, ~/pg) Soit G un pro-p-groupe. finie ni sur WP~ pour tout i, et que ni = 0 pour i cd(G) <+ oo). On pose E(G) =I (-1)i n. e. ; c 1 est la caracteristigue d'EuleT*Poincare de G. (a) Soit A un G-module discret, d'ordre fini pa. Montrer que les n. (A) ~(G, A) sont finis. E(G). Soit H un sous-groupe ouvert de G. E(G). (c) Soit X/N = G une extension de G par un pro-p-groupe N verifiant les memes proprietes.