By Daniel Schaub
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1 Rappels . . . . . . . . . . . 2 Espaces vectoriels sur k et k[t]-modules . . 3 Matrices `a coefficients dans un anneau . . 4 Calcul des facteurs invariants . . . . . 5 Retour aux espaces vectoriels . . . . . 6 Exemples . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V´erifions, `a titre d’exemple, l’une des conditions : ϕ((α1 x1 + α2 x2 , y)) = (α1 x1 + α2 x2 , y) = (α1 x1 , y) + (α2 x2 , y) = α1 (x1 , y) + α2 (x2 , y) = α1 (x1 , y) + α2 (x2 , y). Une autre fa¸con de d´efinir L est comme l’ensemble des applications M × N → A presque partout nulles. Dans cette approche, j : M × N → L est d´efinie par (x, y) → f(x,y) o` u f(x,y) (x , y ) = 0, ∀(x , y ) = (x, y) et f(x,y) (x, y) = 1. 3 Le A-module L/S est appel´e produit tensoriel de M et de N et not´e M ⊗A N .
Xn une base de E. Montrons que u(x1 ), . . , u(xn ) est une base de E, ce qui suffit `a prouver que u admet un inverse (l’application u(xi ) → xi ). Le syst`eme u(x1 ), . . , u(xn ) est libre. En effet, supposons qu’il existe une combinaison lin´eaire non triviale λ1 u(x1 )+· · ·+λn u(xn ) = 0 alors l’un des λi , supposons par exemple λ1 , est non nul, d’o` u l’on d´eduit que λ1 u(x1 ) = µ2 u(x2 ) + · · · + µn u(xn ). Mais alors, λ1 detE (u(x1 ), . . , u(xn )) = detE (λ1 u(x1 )), . . , u(xn ) = 0.