By Hans Beck
ISBN-10: 3642895220
ISBN-13: 9783642895227
ISBN-10: 3642913784
ISBN-13: 9783642913785
An Lehrbiichern der analytischen Geometrie herrscht kein Mangel. Sie gehen im allgemeinen nicht zu weit iiber das hinaus, was once der Studierende bereits von der Schule mitbringt, und wollen meist offenbar nur eine Vorbereitung fiir die Differentialrechnung sein. Daher befolgen sie eine gemischte Methode, insofern sie die synthe tische Elementargeometrie voraussetzen und sich darauf beschranken, deren Aussagen nachtraglich in das neue Gewand des Koordinaten apparats zu kleiden. Der in dieser Weise behandelte Stoff ist im wesentlichen seit zwei J ahrhunderten bekannt, und guy konnte daraus schlieBen, daB die analytische Geometrie seit jener Zeit erstarrt sei. Tatsachlich hat wahrend der groBeren Halfte des verflossenen Jahrhunderts die synthetische Geometrie, in Deutschland die Steinersche Schule, das Hauptinteresse absorbiert. Dariiber ist einmal die analytiEche Geo metrie, die gleiche Erfolge nicbt aufzuweisen hatte, in MiBkredit gekommen, und andererseits hat eine gewisse Vereinseitigung statt gefunden, insofern die Synthetiker nur ein Sondergebiet, die projek tive Geometrie, pflegten und sich um andere Dinge, insonderheit um die Elementargeometrie kaum kiimmerten. Fiir die Koordinatengeometrie wurde der erste neue Gedanke nach langer Zeit 1872 von F. Klein in seinem Erlanger Programm ausgesprocben (vgl. S. 199 bis 202 dieses Buches). Klein erkannte wie sich die uniibersehbare Fiille geometrifcher Einzelerscheinungen in eine Reihe von Systemen einordnen laBt. Damit wurden die Invariantentheorie und die Lehre von den Transformationsgruppen Hilfswissenschaften der analytischen Geometrie, und es wurde u. a. auch der Nichteuklidischen Geometrie, die sich bis dahin nur zag haft entwickelt hatte, ein fester Platz angewiesen.
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Es seien p und q reell, positiv und von Null verschieden. Dann heiJt die Kurveq2x~ +ply~ - p9 q U = 0 eine Ellipse, q2x2_p2y2_p2q2= 0 eine HyperbeZ (vgl. 71). Beide Kurven sind jetzt Orter auch imaginarer Punkte. Auch die Begriffe Tangente, Beriihrungspunkt, Asymptote, wetden 24 Erstes Kapitel. 8. 9. sinngemaB auf diese Kurven und auf die Parabel (7, Erkl. 3) ubertragen. Sohnitt dieser Kurven mit ax + by + c = O. Zwei F'alle (a 0, a = 0). 2. 1m Faile getrennter Sohnittpunkte (~l> '71) und (~" fit) lassen sioh + ~{ ~t und fll ~ fit mtional angeben.
Der andere wird dann i oder -i. lt man + + (9) iX+1I+c=0 (liftksisotrope Gerade oder Linksisotrope). x+iy+c=O (recktsisotrope Ger&de. oder Rechtsisotrope). Diese Terminologie 1) kann hier nicht motiviert werden. ii hei den linksisotropen Geraden links steht, hei den rechtsisotropen rechts. Es giht 00 1 linksisotrope und 00 1 rechtsisotrope Gerade. 1) E. usgewihlte Gegenstinde der Geometri~. Erstes Heft. Ebene analytisohe Kurven und zu ihDen gehorige Abbildungen. 1911. S. 9. ls "E. A. ". 26 Erstes Kapitel.
Den Punkt Q' zu Q finden wir: a) Wenn Q zu P reohtsparallel ist, als die P gegeniiberliegende Ecke des Elementarvierseits, dessen andere Eoken P' und Q sind. b) Wenn Q nioht parallel zu P ist, indem wir die Linksisotrope duroh Q zum Sohnitt bringen mit der Parallelen, die duroh P' zu PQ gezogen ist. 0) Wenn Q zu P linksparallel ist, indem wir zunaohst einen Punkt B willkiirIioh wahlen, der zu P nioht parallel ist, zu ihm naoh b) den Punkt B' konstruieren und dann duroh QB zu B' die Parallele legen.